非线性偏微分方程的概周期型粘性解
本文研究Hamilton-Jacobi方程的回复解，主要包括两部分内容：一部分是关于Hamilton-Jacobi方程的遥远概周期粘性解的存在性和唯一性，另一部分是关于二阶非线性抛物型偏微分方程的周期、概周期和遥远概周期粘性解的存在性和唯一性。
Hamilton-Jacobi方程是流体力学、大气动力学、海洋内波动力学和光学中非常重要的数学模型之一。它在哈密顿动力学、最优控制理论以及微分对策理论中也有非常重要的应用。做为完全非线性的偏微分方程，Hamilton-Jacobi方程的经典光滑解不容易求出甚至不存在。许多应用学科的发展需要解决这个问题。上世纪八十年代初，Crandall、Evans和Lions等人打破了这个僵局，利用极值原理，创立了Hamilton-Jacobi方程的粘性解理论，极大地推进了偏微分方程弱解理论的发展。粘性解理论是Lions获得菲尔兹奖的重要内容。八十年代后期，Crandall、Lions、Ishii和Jensen等人推广了这一理论，建立了二阶Hamilton-Jacobi方程和椭圆型方程的粘性解理论。这一理论还在发展过程中，目前这方面的文献已有数千篇之多。其中非常值得注意的一个动向是，这一理论与动力系统的Arnold扩散和弱KAMN论有着深刻的联系。
Bohr等人创立的概周期函数理论领域已经得到很大的发展，产生了许多具有更广泛意义的函数类，譬如概自守函数、渐近概周期函数、弱概周期函数，一致概周期函数等。到了上世纪八十年代Sarason提出了遥远概周期函数和缓慢震荡函数。九十年代初，张传义提出了伪概周期函数。这些函数类的分析与代数性质得到广泛研究。它们在动力系统和微分方程定性理论中有着广泛的应用。
本文欲在上述两个数学发展进程的交叉领域开展研究，主要研究Hamilton-Jacobi方程的概周期型粘性解的存在唯一性。我们应用Perron方法和粘性解的比较定理，对Hamilton-Jacobi方程及二阶非线性抛物型偏微分方程(二阶Hamilton-Jacobi方程)的概周期和遥远概周期粘性解的存在性和唯一性进行了系统研究。
本文主要做了以下工作
第一，提出并证明了遥远概周期函数和缓慢震荡函数的几个性质和引理。
第二，对Hamilton-Jacobi方程，证明了其遥远概周期粘性解的存在性和唯一性，并证明了该方程的高频率的遥远概周期粘性解的渐近行为。
第三，推广了已有的Hamilton-Jacobi方程粘性解的比较定理，得到适用于有界区域上带有Dirichlet边界条件的Hamilton-Jacobi方程的比较定理，并证明了该方程的遥远概周期粘性解的存在性。
第四，推广了适用于Hamilton-Jacobi方程粘性解的比较定理，得到了适用于二阶非线性抛物型偏微分方程的比较定理，并证明了该方程的周期、概周期及遥远概周期粘性解等回复解的存在性和唯一性，研究了该方程的高频率的概周期及遥远概周期粘性解的渐近行为。
非线性偏微分方程;概周期型粘性解;动力系统;渐近行为
中国海洋大学
博士
物理海洋学
朴大雄
2009
中文
O175.2
68
2009-10-19（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）