分担一个或两个小函数的整函数及其导数的唯一性
二十世纪二十年代，芬兰数学家R.Nevanlinna引进亚纯函数的特征函数，建立了Nevanlinna理论，是二十世纪最重大的数学成就之一，这不仅因为它奠定了现代亚纯函数理论的基础，而且对数学许多分支的发展，交叉和融合产生了重大而深远的影响。半个多世纪以来，Nevanlinna理论研究在不断发展，而且在复微分方程振荡理论，亚纯函数唯一性理论研究等方面有着广泛的应用。特别是在复域中常微分方程大范围解析解的研究中(参看[15])，Nevanlinna理论的成功介入，不但为之提供了十分重要的研究工具，而且使得这一学科的发展充满了生机。而在亚纯函数唯一性理论研究方面，1929年，R.Nevanlinna(参看[20])利用他刚建立不久的亚纯函数值分布理论，研究了决定一个亚纯函数所需要的条件，得到了两个著名的亚纯函数唯一性定理，它们通常被称为Nevanlinna五值定理和Nevanlinna四值定理。从此，亚纯函数唯一性理论，特别是涉及公共值的亚纯函数唯一性的研究拉开启了发端。
半个多世纪以来，日本，中国，德国，英国，前苏联和美国的许多数学家都曾致力于亚纯函数唯一性理论的研究，使之称为复分析领域至今仍比较活跃的一个重要分支；期间所形成的独特的思想方法与研究技巧，为其它数学分支，如代数体函数，Non-Archimedean域上的亚纯函数，乃至一般流形上的亚纯映射的唯一性及相关问题的研究，提供了十分重要的启示与借鉴。
近二十年来，仪洪勋教授在亚纯函数唯一性理论的研究中，独树一帜。他在这一领域所做的原创性工作(参看[2][25])，吸引了国内外学者，数学家，甚至著名数学家的研究兴趣，从而有力地推动了亚纯函数唯一性理论的发展，也为中国在这一领域的国际地位做出了重要贡献.李效敏教授在亚纯函数唯一性理论研究中比较活跃，作了许多研究工作，得到了国内外同行的关注。不仅如此，他还在复微分方程和亚纯函数正规族的研究中得到不少突出的结果，例如他在Brück猜想和Gundersen问题等方面作了许多研究工作。
本文介绍作者在李效敏教授的精心指导下所完成的一些研究工作。全文共分三章：
第一章，主要介绍与本文有关的Nevanlinna基础理论中的主要概念，常用记号及经典结果。
对整函数与其导数具有公共值的唯一性问题的研究，由L.A.Rubel和C.C.Yang首开先河。尔后,国外著名的复分析专家，如E.Mues，G.Frank，N.Steinmetz，G.G.Gundersen，G.Jank，L.Volkamn等人以及一些中国学者，分别从不同的角度将这一课题的研究不断引向深入。至今，仍有一些问题尚未解决。不仅如此，1992年，W.Schwick(参看[24])发现，整函数的正规性和该函数族中的函数与其导数是否具有公共值这一性质，有着十分紧密的联系.由于正规族理论在复动力系统的研究中的特殊地位，他的这一发现立即吸引了国内外许多学者的注意，这无疑使函数公共值问题的研究更具有活力，也更有意义。
在本文的第二章，我们主要研究整函数及其k阶导数分担一个公共小整函数的唯一性问题，两个主要结果改进了Bruck和杨连中等人的结果。下面是主要定理:
定理1:设f是微分方程f(k)-eαf=0的非常数解，超阶v(f)<∞，令k是一个正整数，则α是一个多项式且v(f)=γα，其中γα表示的α次数。
定理2:设Q(z)是一个非常数的多项式，k是一个正整数。如果f是微分方程f(k)-α=(f-α)eQ(z)的解，其中α(不恒等于∞)是厂的小整函数满足σ(α)<γQ，γQ表示Q(z)的次数，则v(f)=γQ且f是一个无穷阶的整函数。
在本文的第三章，我们主要研究整函数及其k阶导数加权分担两个公共小函数的唯一性问题，得到一个主要结果，推广了L.A.Rubel，G.Frank，郑稼华及王书培和杨连中等人的结果。下面是第三章的主要定理：
定理3:设f是一个非常数的整函数，k为正整数，再设a和b是两个判别的有穷小函数。如果f和f(k)(f≥1)分担(a,1)和(b，m)，这里m(≥2)是一个正整数，那么f≡f(k)。
Nevanlinna理论;亚纯函数;整函数;导数;李效敏;公共小函数
中国海洋大学
硕士
应用数学
李效敏
2008
中文
O174.52
34
2008-12-08（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）