最小二乘问题最佳向后误差的线性化估计
向后误差是数值代数中的一个基本概念。向后误差分析的结果有多方面的应用,如:检测新算法的向后稳定性。最小二乘问题近似解的最佳向后误差估计是很多学者关注的课题。Walden,Karlson和Sun对普通最小二乘问题(OLS)近似解的范数型最佳向后误差给出了表达式。这项工作引出了大量的后继研究。Higham给出了便于稳定计算的表达形式。注意到最佳向后误差表达式求值花费太大,很多学者转向对其进行估计。其中包括Walden和Karlson给出的上界和下界估计。对大型稀疏问题,Malyshev和Sakane建议使用L,anczos双对角化技术对最佳向后误差进行估计。Cox和Higham研究了具线性等式约束最小二乘问题(LSE)及球约束最小二乘问题(LSS),给出了最佳向后误差的上界及下界。Mayshev研究了LSS,证明了最佳向后误差要么为Cox和Higham给出的下界,要么为Cox和Higham给出的上界。Chang,Golub和Paige对数据最小二乘问题(DLS)给出了最佳向后误差的下界,并证明了该下界在渐近情形与最佳向后误差等价。Chang和Peloquin对尺度化整体最小二乘问题(STLS)给出了最佳向后误差的下界。
这篇学位论文采用线性化方法对若干类型的最小二乘问题近似解的最佳向后误差进行估计,包括普通最小二乘问题、约束最小二乘问题及尺度化整体最小二乘问题。对于普通最小二乘问题及尺度化整体最小二乘问题,本文针对Higham和Higham,Chang和Titley—Peloquin给出的线性化估计,证明了若干新的结果。对于球上最小二乘问题和等式约束最小二乘问题,本文给出了向后误差的线性化估计,并且与前人给出的向后误差界做了数值比较。文中实验结果表明,当最小二乘问题的近似解靠近精确解时,最小二乘问题最佳向后误差的线性化估计是最佳向后误差的好的近似。
论文由五部分组成:
第一部分是引言。介绍了最小二乘问题近似解的最佳向后误差估计的产生背景,研究现状以及研究此课题的理论意义,给出本文的主要研究问题。
第二部分是关于普通最小二乘问题近似解的最佳向后误差的线性化估计。首先给出了最佳向后误差的线性化估计式；然后讨论了线性化估计与最佳向后误差之间的关系；最后讨论了线性化估计与Karlson—Walden估计间的关系,并且给出了数值比较的有关结果。
第三部分是关于等式约束最小二乘问题近似解的最佳向后误差估计。首先给出了最佳向后误差的线性化估计式；其次,考虑到最佳向后误差的线性化估计计算比较困难,对给出的线性化估计作了进一步的近似；再次,讨论了线性化估计与最佳向后误差之间的关系,并通过数值实验检测所给出的估计；最后,对Higham和Cox给出的最佳向后扰动界,给出相应的线性化估计。
第四部分是关于球上最小二乘问题的向后误差。首先,给出了最佳向后误差的线性化估计；接着讨论了线性化估计与最佳向后误差的关系,证明了在渐近情形下,线性化估计是最佳向后误差的良好近似；数值试验也证明了这一点。
第五部分是针对尺度化整体最小二乘问题近似解的最佳向后误差,对Chang,Titley—Peloquin给出的关于最佳向后误差的渐近估计及线性化估计,讨论了二者之间的关系。
最小二乘问题;尺度化整体;线性化估计;向后误差;数值代数
中国海洋大学
硕士
计算数学
刘新国
2010
中文
O241.5
45
2011-10-31（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）